Откриће не може остати тајна
Прича се да је Питагора, седећи једнога дана на трему своје куће и гледајући под покривен троугластим каменим плочицама, дошао на мисао која га је одвела до његовог чувеног правила о односу између страна у правоуглом троуглу и до открића несамерљивих величина.
Питагора је боравио неко време у Египту, где је изучавао египатску науку тога времена.
Египћани су 15 векова пре Питагоре знали за однос између катета и хипотенузе у правоуглом троуглу. На основу тога односа конструисали су прави угао тако што су на једном конопцу везивали чворове на размацима од 3, 4 и 5 једнаких делова. Кроз два средња чвора би побили кочиће у земљу, па би оба краја конопца затегли и спојили трећим кочићем. Конопац је тако затварао правоугли троугао. У изградњи великих египатских грађевина било је веома важно правилно конструисати прави угао. Поред овог правоуглог троугла са странама 3,4 и 5, Египћани су и у низу других правоуглих троуглова открили однос у коме су се налазиле катете и хипотенуза. Тако се у чувеном „Архимедивом папирусу“ из XVI века пре наше ере, под насловом „Упутство како да се одгонетну све загонетке и тајне садржане у предметима“, објашњава да је однос између висина једне пирамиде и половине стране њене основе 17 : 14, а то су уствари катете правоуглог троугла чије су стране 140, 171, 221.
Питагора је, проучавајући египатска сазнања у тој области, дошао на идеју да је у сваком правоуглом троуглу збир квадрата над катетама раван квадрату над хипотенузом, ту је идеју проверио и доказао, те је правило о односу међу странама у правоуглом троуглу добило по њему своје име.
То је био велики допринос геометрији Старога века, који је имао ванредно плодне последице.
Једну неочекивану последицу свога правила открио је већ сам Питагора и њу је сматрао успехом са којим је египатску геометрију оставио далеко иза себе.
Посматрајући једнакокрак правоугли троугао, можда баш на каменом поду свога трема, запазио је да се квадрати над катетама могу расећи на по 2 равнокрака троугла, а квадрат над хипотенузом на 4 иста таква троугла. То је био очигледан доказ његовог правила, али и основа за једно ново сазнање: однос између хипотенузе и катете у једнакокраком правоуглом троуглу одређен је једним бројем који није ни цео ни разломак. Квадрат над катетама, то јест c², раван је збиру квадрата над катетама, то јест 2а², из чега излази да је
c = a √2
Према томе, √2 изражава однос између катете и хипотенузе, а тај број није ни цео ни разломак. То је „неизрецив број“, како су се изражавали Питагорејци.
Такве бројеве ми данас називамо ирационалним бројевима. Ирационални бројеви су бројеви до којих се дође кад се мере такозване несамерљиве величине, то јест величине које једну другом не можемо никако измерити до краја. Ма колико да једну величину делимо другом, увек остаје један део неизмерен, који са даљим дељењем може постајати све мањи и мањи и „доћи испод сваке одређене величине“, како каже стари грчки филозоф Аристотел, али ће и тада, ма како био мали, остати неизмерен.
Кад су Питагорејци открили да су њихови „неизрециви“ бројеви, који су тек 25 векова касније добили своје објашњење, уствари изрази несамерљивих величина, покушали су да то своје велико откриће сакрију, иако их томе није учио њихов велики учитељ. Покушали су да то кобно откриће заташкају, јер су схватили да ће оно направити пустош у целом њиховом учењу, према коме у природи владају цели бројеви, а хармонија васионе није друго до говор бројева.
Али узалуд су Питагорејци у мору удавили једног од својих чланова који је открио тајну квадратног корена из 2. Тајна се прочула, а и да није – истину би открио неко други, на другом месту, у другом времену. Јер, у науци, тајна не може остати тајна.
Ма колико се покушавало да се једно откриће сакрије, истина која се у њему садржи пробија себи пут. Узалуд је инквизиција крајем XVI века осудила италијанског научника и филозофа Ђордана Бруна „на казну најблажу и без проливања крви“, што је значило да се жив спали на ломачи, зато што је учио да Земља није у средишту света и да у васиони има безброј таквих светова. Узалуд је инквизиција натерала и славног Галилеја да се одрекне учења како се Земља окреће око своје осовине. Залудни су били сви прогони слободне људске мисли у историји од најранијих времена до наших дана.
Научне истине са неодољивом снагом раскидају све што би могло да их спутава и веже, оне се шире преко свих класних и националних граница и пре или после постају општа тековина човечанства јер, као што је лепо рекао славни француски хемичар и биолог Луј Пастер, „наука нема отаџбине“.
Одломци из књиге Живка К.Костића „Између игре и математике“
ISBN 86-483-0029-0
То је био велики допринос геометрији Старога века, који је имао ванредно плодне последице.
Једну неочекивану последицу свога правила открио је већ сам Питагора и њу је сматрао успехом са којим је египатску геометрију оставио далеко иза себе.
Посматрајући једнакокрак правоугли троугао, можда баш на каменом поду свога трема, запазио је да се квадрати над катетама могу расећи на по 2 равнокрака троугла, а квадрат над хипотенузом на 4 иста таква троугла. То је био очигледан доказ његовог правила, али и основа за једно ново сазнање: однос између хипотенузе и катете у једнакокраком правоуглом троуглу одређен је једним бројем који није ни цео ни разломак. Квадрат над катетама, то јест c², раван је збиру квадрата над катетама, то јест 2а², из чега излази да је
c = a √2
Према томе, √2 изражава однос између катете и хипотенузе, а тај број није ни цео ни разломак. То је „неизрецив број“, како су се изражавали Питагорејци.
Такве бројеве ми данас називамо ирационалним бројевима. Ирационални бројеви су бројеви до којих се дође кад се мере такозване несамерљиве величине, то јест величине које једну другом не можемо никако измерити до краја. Ма колико да једну величину делимо другом, увек остаје један део неизмерен, који са даљим дељењем може постајати све мањи и мањи и „доћи испод сваке одређене величине“, како каже стари грчки филозоф Аристотел, али ће и тада, ма како био мали, остати неизмерен.
Кад су Питагорејци открили да су њихови „неизрециви“ бројеви, који су тек 25 векова касније добили своје објашњење, уствари изрази несамерљивих величина, покушали су да то своје велико откриће сакрију, иако их томе није учио њихов велики учитељ. Покушали су да то кобно откриће заташкају, јер су схватили да ће оно направити пустош у целом њиховом учењу, према коме у природи владају цели бројеви, а хармонија васионе није друго до говор бројева.
Али узалуд су Питагорејци у мору удавили једног од својих чланова који је открио тајну квадратног корена из 2. Тајна се прочула, а и да није – истину би открио неко други, на другом месту, у другом времену. Јер, у науци, тајна не може остати тајна.
Ма колико се покушавало да се једно откриће сакрије, истина која се у њему садржи пробија себи пут. Узалуд је инквизиција крајем XVI века осудила италијанског научника и филозофа Ђордана Бруна „на казну најблажу и без проливања крви“, што је значило да се жив спали на ломачи, зато што је учио да Земља није у средишту света и да у васиони има безброј таквих светова. Узалуд је инквизиција натерала и славног Галилеја да се одрекне учења како се Земља окреће око своје осовине. Залудни су били сви прогони слободне људске мисли у историји од најранијих времена до наших дана.
Научне истине са неодољивом снагом раскидају све што би могло да их спутава и веже, оне се шире преко свих класних и националних граница и пре или после постају општа тековина човечанства јер, као што је лепо рекао славни француски хемичар и биолог Луј Пастер, „наука нема отаџбине“.
Одломци из књиге Живка К.Костића „Између игре и математике“
ISBN 86-483-0029-0
Чаролија бројева
У свету који је био пун тајанствених збивања, пун непознатог и неразумљивог, чевекова је мисао и у бројевима налазила тајанствена својства која је везала за појмове сопственог човековог живота.
Такво схватање бројева као тајанствених симбола свега што је у свемиру и у човеку имало је своје корене у дубокој антици, цветало је у мрачно доба средњовековне празноверице, а на његове трагове наилазимо и ми данас у таквим појавама као што су страх од „несрећног“ броја 13.
Учeња о тајанственим својствима бројева везана су нарочито за чувену математичку школу Старога века, коју је у VI веку пре наше ере основао Питагора.
За Питагорејце, то јест оне који су усвајали Питагорина учења и припадали његовој школи, број је био нешто од чега је створен свет. Бројеви, према њиховом учењу, не изражавају само облике свемира, него и саму његову материју. Као што је филозоф Платон доцније сматрао да свет сачињава мисао, или филозоф Демокрит да свет сачињавају атоми, тако су Питагорејци веровали да се свет састоји од бројева.
Број 1, учили су они, и није број, већ извор свих бројева, он је непроменљив и представља разум, а означава тачку у простору. Број 2 представља мисао и линију, јер су обоје „безгранични и неодређени“, али и женскост такође. То је први „Женски“ број. Број 3 је симбол површине, он садржи „почетак, средину и крај“. То је и симбол мушкости, први „мушки“ број. Број 4 представља квадрат, запремину и правду јер је 4 = 2 x 2, то јест производ два чиниоца који потпуно држе равнотежу један другоме. Број 5 је број брака, као збир првог женског и првог мушког броја. Број 6 је посвећен души, број 7 је симбол невиности, јер се не може поделити нити се њиме може поделити без остатка било који број до 10. Број 8, који је први куб, то јест 2³, садржи тајну љубави и пријатељства. Број 9 представљамедицину. Број 10 је израз материје, јер је он збир тачке, линије, равни и запремине.
Све нам ово данас изгледа невероватно бесмисленои бескорисно, али се иза тих далеких тражења налазила мисао да у бројевима треба тражити кључ за разумевање свемира, кључ за разумевање оних закона који привидни хаос међу стварима сређују у хармонију и који тек треба да буду откривени. Стога су већ математичари Старога века сматрали да је Питагорина школа унапредила изучавање аритметике и „извукла је из области трговачке рачунице“.
Сл. 1 – Троугласти и квадратни бројеви.
Приметили сте да се квадратни бројеви могу добити сабирањем троугластих.
Изучавајући односе између бројева, Питагорејци су нарочито изучавали такозване сликовите или „фигуриране“ бројеве, као што су троугласти и четвороугласти бројеви, то јест такви бројеви који се могу приказати неком сликом или фигуром. То проучавање сликовитих бројева одвело је временом до открића низова бројева који се могу протезати без краја, као што су на пример, низови:
Први низ је природни ред бројева, такозвани „родитељски“ низ, а остали низови су „деца“, и то други низ је троугластих, трећи четвороугластих бројева, четврти чини аритметичку прогресију, а пети геометријску.
Повезујући редове бројева Питагора је направио таблицу множења која носи његово име. Питагорејска изучавања особина бројева у низу показала су се значајним тек после више векова, када су изучаване прогресије и откривени логаритми.
Питагорејци су у граду Кротону, на крајњем југу Италије, засновали неку врсту братства учених људи. Све што су имали сматрали су заједничком имовином, и знање и филозофију и имање. Живели су једноставним животом исповедника и проповедали су уздржљивост и чедност.
Питагора је волео да преноси своја знања на друге и силни је свет долазио да га слуша, али су се припадници његовог братства ускоро затворили у себе и своје знање делили само једни с другима. Ко би одао тајну, заслужио би смрт. Записано је да су два члана братства удављена у мору: један што се хвалио да је открио ново правилно тело – додекаедар, а други што је открио тајну несамерљивости квадратног корена из 2.
Њихово учење да земљом треба да управљају најбољи људи довело их је у сукоб с средином у којој су живели. Шириле су се гласови да жртвују децу и маса се једног дана дигла на њих, многе од њих побила и куће им попалила. За Питагору се не зна да ли је изгорео у пожару своје куће или је пребегао у Тарент, где је , по причањима, живео до своје 84-те године.
Питагорини ученици поделили су се у тајна друштва, која су математици давала неки божанствени и тајанствени изглед. „Благослови нас, божанствени броју“, молили су се они у својим обредима које су приређивали мађијским бројевима, „о свети тетракисе, који си родио богове и људе, који носиш у себи корен и извор стварања које вечито струји“.
Тај тајанствени изглед, који је математика тада имала, сачувала је у току целог Средњег века, па скоро и до наших дана. Још је у 16. веку, на пример, католички теолог Петар Бунгус написао књигу од 700 страна да би доказао како такозвани „животињски број“ из „Књиге откровења“, то јест број 666, значи име Мартина Лутера, оснивача протестанске вере, а Лутер је тај број протумачио као век трајања папске силе која се ближи своме предодређеном крају.
Ипак, ваља имати у виду да у мађију бројева нису веровали математичари. У њу су веровале непросвећене народне масе, а користили су је за своје циљеве теолози, сумњиви филозофи и лекари у мрачном периоду људске историје, а доцније разни шарлатани и шпекуланти.
Одломци из књиге Живка К.Костића „Између игре и математике“
ISBN 86-483-0029-0
Први низ је природни ред бројева, такозвани „родитељски“ низ, а остали низови су „деца“, и то други низ је троугластих, трећи четвороугластих бројева, четврти чини аритметичку прогресију, а пети геометријску.
Повезујући редове бројева Питагора је направио таблицу множења која носи његово име. Питагорејска изучавања особина бројева у низу показала су се значајним тек после више векова, када су изучаване прогресије и откривени логаритми.
Питагорејци су у граду Кротону, на крајњем југу Италије, засновали неку врсту братства учених људи. Све што су имали сматрали су заједничком имовином, и знање и филозофију и имање. Живели су једноставним животом исповедника и проповедали су уздржљивост и чедност.
Питагора је волео да преноси своја знања на друге и силни је свет долазио да га слуша, али су се припадници његовог братства ускоро затворили у себе и своје знање делили само једни с другима. Ко би одао тајну, заслужио би смрт. Записано је да су два члана братства удављена у мору: један што се хвалио да је открио ново правилно тело – додекаедар, а други што је открио тајну несамерљивости квадратног корена из 2.
Њихово учење да земљом треба да управљају најбољи људи довело их је у сукоб с средином у којој су живели. Шириле су се гласови да жртвују децу и маса се једног дана дигла на њих, многе од њих побила и куће им попалила. За Питагору се не зна да ли је изгорео у пожару своје куће или је пребегао у Тарент, где је , по причањима, живео до своје 84-те године.
Питагорини ученици поделили су се у тајна друштва, која су математици давала неки божанствени и тајанствени изглед. „Благослови нас, божанствени броју“, молили су се они у својим обредима које су приређивали мађијским бројевима, „о свети тетракисе, који си родио богове и људе, који носиш у себи корен и извор стварања које вечито струји“.
Тај тајанствени изглед, који је математика тада имала, сачувала је у току целог Средњег века, па скоро и до наших дана. Још је у 16. веку, на пример, католички теолог Петар Бунгус написао књигу од 700 страна да би доказао како такозвани „животињски број“ из „Књиге откровења“, то јест број 666, значи име Мартина Лутера, оснивача протестанске вере, а Лутер је тај број протумачио као век трајања папске силе која се ближи своме предодређеном крају.
Ипак, ваља имати у виду да у мађију бројева нису веровали математичари. У њу су веровале непросвећене народне масе, а користили су је за своје циљеве теолози, сумњиви филозофи и лекари у мрачном периоду људске историје, а доцније разни шарлатани и шпекуланти.
Одломци из књиге Живка К.Костића „Између игре и математике“
ISBN 86-483-0029-0